יישומים מעשיים ביחס בתחומי המתמטיקה השונים

סוג העבודה
מקצוע
מילות מפתח , , , , , ,
שנת הגשה 2008
מספר מילים 11024
מספר מקורות 30

תקציר העבודה

יישומים מעשיים במושג  היחס בגיאומטריה, באלגברה ובחשבון עבודה סמינריונית במסגרת הדרישות לקבלת דרגת שכר אקוויוולנטית לBA  לקורס:
סמינר במתמטיקה מנחם אב,  תשס"ח  2008
תוכן העניינים תקציר –.     5
מבוא
     8
פרק ראשון: הגדרת המושג יחס –     10
1 .
יחס- מהו?
-.   10
1 .1.
הגדרת המושג …  10
1 .2.  הצגת היחס -. 10
2 .
סוגי היחס בין שני גדלים ומרכיביו ..   11
2 .1   פרופורציה הגדרת המושג .. 11
            2.1.1  תיאום בין שני משתנים פרופורציה ..    12
2 .2  יחס ישר –..  13
2 .3  יחס הפוך — 15
3 .
סוגי יחס בין קבוצות -..    16
3 .1  יחס בינארי -..  16
3 .2  יחס רפלקסיבי …  16
3 .3  יחס סימטרי (יחס כפול) – 17
3 .4
יחס אנטי סימטרי   17
3 .5
יחס טרנזיטיבי …  17
פרק שני: פרקים בהיסטוריה של היחס —    19
1 .
תאלס היווני והיחס -…    19
2 .  היחס במצרים הקדומה ..    19
3 .
הבעיות שהביאו למציאת היחס -..   20
3 .1
תרבוע העיגול –  20
3 .2  בעיית הטריטקציה –.  20
3 .3  הפרדוקס של זינון –…  20
3 .4  בעיית דילוס -.  21
3 .5  שיטת המיצוי –  22
פרק שלישי: בעיות בנושא היחס במתמטיקה ובגיאומטריה –.     24
1 .  משפטי יחס בגיאומטריה    24
1 .1
משפט צ'בה -…  24
1 .1.1
הוכחה ראשונה       24
1 .1.2
הוכחה שנייה (בדרך השלילה) —   24
1 .2.
משפט תאלס והיפוכו -…  
5
1 .2.1
משפט תאלס …     
5
1 .2.2
היפוכו של משפט תאלס ..      26
1 .3.
מסקנות הנובעות ממשפט תלס —  27
1 .4.
חלוקת קטע ביחס נתון -.   27
1 .4.1    חלוקה פנימית –…      27
1 .4.2     חלוקה הרמונית -..         27
1 .4.3     חלוקה חיצונית -…        27
1 .5.
חוצה זווית במשולש —   28
1 .5.1    משפט
1 והיפוכו, חלוקה פנימית …     28
1 .5.2    משפט 2 והיפוכו, חלוקה חיצונית .      29
1 .6.
דמיון משולשים .   30
1 .6.1    הגדרה —      30
1 .6.2    משפט דמיון ראשון (ז.ז.ז) –.      30
1 .6.3    משפט דמיון שני (צ.ז.צ)      31
1 .6.4     משפט דמיון שלישי (צ.צ.צ.) –       32
1 .6.5    משפט דמיון רביעי (צ.צ.ז.) —     33
1 .7.
דמיון מצולעים ..   34
1 .7.1    הגדרה —      34
1 .7.2.   משפט ראשון      35 
1 .7.3.   משפט שני –     35
2 .
שימושי היחס בחשבון –    37
2 .1  דרכי השימוש ביחס —  37
2 .2  דוגמאות לבעיות יחס בחשבון –.   37
3 .
יחס מסוג פונקציה —    40 פרק רביעי: שימושי היחס בחיי היום-יום –      44
1 .
שימוש בדמיון .     44
1 .1
פנטוגרף –…  44
1 .2
מצלמה -.           -..     44
2 .
חיתוך הזהב –     45
2 .1
אלכסון הריבוע מספרים אי רציונלים .   47
3 .
קנה מידה -..     48
3 .1
הגדרת המושג …   48
3 .2
דוגמאות לשימוש בקנה מידה –..  49
3 .2.1
דוגמא מס' 1 …      49
3 .2.2
דוגמא מס' 2 …      50
3 .2.3.
דוגמא מס' 3 .      51
סיכום –…     52
ביבליוגרפיה –     55
תקציר עבודה זו עוסקת ביישומים מעשיים של מושג היחס המופיע בכל תחומי המתמטיקה. ועונה על שאלות המחקר: היכן משתמשים במושג היחס בתחומי המתמטיקה: בחשבון, באלגברה ובגיאומטריה  ומהו יישומו בחיי היום יום.
מושג ה"יחס" מוגדר כביטוי של גודל אחד לעומת גודל שני. למשל אורך אחד לעומת אורך שני. כתיבת היחס מבטאת יחסים בין שלמים ולא כשבר שמבטא חלקים מתוך השלם. קיימים שני סוגי יחס בין שני גדלים:  Ratio – יחס שבו הגדלים או הכמויות הם בעלי אותו כינוי.  A Rate-  יחס שבו הגדלים או הכמויות הינם בעלי כינויים שונים. הפרופורציה היא שוויון בין יחסים. ומוגדרת על ידי אודוקסוס: גדלים הם באותו היחס, הראשון לשני והשלישי לרביעי, אם עבור כפולות כלשהן של הראשון והשלישי, ועבור כפולות כלשהן של השני והרביעי, עולות הכפולות הקודמות במידה שווה על האחרונות, או שוות להן, או נופלות מהן במידה שווה, כשהן לקוחות בסדר מתאים. התיאום בין שני משתנים הוא מה שמאפיין חשיבה אופרטיבית. כלומר ביחס שני האיברים הם תלויים זה בזה ולכן ברור כי כל חוקי החילוק חלים גם על היחס. ובעיקר חשוב הכלל שכאשר כופלים או מחלקים את שני המספרים שביחס באותו מספר, היחס אינו משתנה, לדוגמא: יחס של 12:6 נשאר אותו יחס גם לאחר חילוק שני האגפים במספר זהה 2:1 אבל אם נשנה את שני המספרים באופן אחר היחס ישתנה. לדוגמא אם נכפול גודל אחד פי 2 ונחלק את השני ב-2 היחס יגדל פי 4.  היחס נחקר במשך השנים בגלל בעיות שבפניהן עמדו החוקרים. לדוגמא, תאלס היווני חיפש דרך למדוד את גובהן של הפירמידות, ומצא באמצעות דמיון משולשים. הוא העמיד מקלות ובדק את צילן ביחס לצל הפירמידות והגיע למסקנה שהיחס בין גובה האובייקט לבין אורך הצל שלו יהיה בזווית קבועה.
המצרים הקדומים עשו שימוש ביחס כדי לוודא שהפירמידות פונות לכיוון הנכון. בגלל האמונות האסטרולוגיות שלהם רצו לכוון את בסיסי הפירמידות לאורך חיצי המצפן. כדי לצמצם טעויות השתמשו בחבלים שחולקו באמצעות קשרים. במשך ההיסטוריה נתקלו המתמטיקאים בבעיות שונות שלא ניתנו לפתרון, בעיות אלו הביאו לצורך למצוא קשר בין איברי קבוצות שונות או בין  איברים שונים באותה קבוצה להלן מספר בעיות שהביאו למציאת היחס. כמו:
"תרבוע המעגל" שהיא אחת הבעיות הקלסיות של המתמטיקה היוונית. היוונים חיפשו דרך למצוא ריבוע השווה בשטחו לשטח מעגל נתון. בעיה נוספת היא בעיית הטריטקציה העוסקת בחלוקת זווית שאינה ישרה ושאינה שטוחה, לשלושה חלקים שווים, באמצעות מחוגה וסרגל בלבד. בעיה זו לא הייתה פתירה באמצעים שהיו קיימים באותה תקופה. גם הפרדוקס של זינון הובן ונפתר רק על ידי שימוש ביחס. בעיה נוספת היא בעיית דילוס. במקרה זה נתונה קובייה, יש למצוא את המקצוע של קובייה אחרת, שנפחה גדול פי שניים בדיוק מן הנפח של הקובייה הנתונה. ועוד בעיות נוספות שבאו על פתרונן עם גילוי היחס ושימוש בו. בימינו השימוש בנושא היחס במתמטיקה ובגיאומטריה רב תחומי וקיימים משפטים רבים העוסקים בכך כמו משפט צ'בה  שאומר שלושה קטעים היוצאים מקודקודי משולש ABC יהיו בעלי נקודת מפגש משותפת, (P) אם ורק אם מתקיים:  bx/xc*cy/ya*az/zb= 1. וכן משפט תאלס. משפט תאלס הוכח בקטעים שיש להם מידה משותפת. אך נכון גם לגבי קטעים שאין להם מידה משותפת. תאלס הוכיח ששני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.              משפטי הדימיון מוכחים גם הם על ידי שימוש ביחס. שני משולשים נקראים "דומים" אם שלוש זוויותיהם שוות בהתאמה וקיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות, כלומר הצלעות הן פרופורציוניות.
לדוגמא:  A= D                   B= F                   C= E   כאשר יחס הדמיון הוא K Ab/df = ca/de = cb/ef = k.
ליחס שימושים אף בפתרון בעיות בחשבון.  הדרך המקובלת לפתרון בעיות יחס היא: כאשר הסכום הנתון מהווה קבוצה המתחלקת למספר מסוים של יחידות. מוצאים את הערך של כל יחידה, ומכפילים את ערך היחידה במספר היחידות ששיך לכל אחד. אין להכפיל את איברי היחס ב-0 כי אם מרחיבים יחס מסוים, אפשר תמיד לחזור ליחס הנתון על ידי צמצום, אבל אם מכפילים ב-0 מקבלים  0:0, ואי אפשר למצוא את היחס הראשון. כמו כן יש להקפיד להשתמש באותן מידות כדי שהיחס ביניהן יהיה שווה.             הפונקציה גם היא משימושי היחס. מושג הפונקציה מכתיב יחס חד כיווני בין משתנה "בלתי תלוי" לבין משתנה "תלוי". אבל אם יהיו A ו- B שתי קבוצות. היחס f מ- A ל- B נקרא פונקציה מ- A ל- B אם עבור כל A Î a קיים בטווח של f איבר b אחד ויחיד כך ש- f Î (a,b). הפונקציה מ- A ל- B מסומנת על ידי B A :f, אם מתקיים f Î (a,b) ואז ניתן לרשום b = (a) f.
            משימושי היחס בחיי היום יום ניתן למצוא את הפנטוגרף. שהוא מכשיר המיועד להגדלה או להקטנה של מפות ושרטוטים. הוא מורכב מארבעה מוטות מחוררים, שאפשר לחברם באופנים שונים וליצור מקבילית (ABCD) באופן שהנקודה (P המחוברת לשולחן) נמצאת בקו ישר עם הנקודות D ו- E, שאפשר לחבר אליהן עפרונות. כאשר עוברים בעיפרון הנמצא ב- D על צורה נתונה, מצייר העיפרון ב- E צורה דומה לה אך בהגדלה. גם בתהליך הצילום משתמשים בעיקרון ההקטנה בעבור K< 0  (היפוך התמונה). AB היא הדמות המצולמת, L היא העדשה ו- A'B'  היא התמונה המוקטנת וההפוכה המתקבלת על גבי הפילם. קנה מידה הוא היחס בין מרחק במפה או בתרשים למרחק במציאות. יחס זה הוא למעשה יחס הדמיון. צורת הרישום המקובלת לציון קנה מידה של מפות היא כצורת הרישום של יחס בין מספרים, לדוגמא: 1:100000. כאשר המספר השמאלי מבטא את האורך במפה והימני מבטא את האורך במציאות. מתברר כי נושא שימושי היחס ניכר בתחומים רבים במתמטיקה גיאומטריה ובחיי היום יום, והעיסוק בו יכול לשפוך אור על תחומים רבים הנגזרים ממנו.